可視化微分幾何和形式：一部五幕數學正劇

特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）

旧金山大学数学系教授，理学院副院长。牛津大学博士，导师为Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）。1995年被美国数学学会授予Carl B. Allendoerfer奖，他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。

第 一幕 空間的本質

第 1章　歐幾里得幾何與非歐幾何　2

1.1　歐幾里得幾何與雙曲幾何　2

1.2　球面幾何　5

1.3　球面三角形的角盈　8

1.4　曲面的內蘊幾何與外在幾何　9

1.5　通過“直性”來構作測地線　12

1.6　空間的本質　15

第 2章　高斯曲率　18

2.1　引言　18

2.2　圓的周長和麵積　20

2.3　局部高斯–博內定理　24

第3章　序幕和第 一幕的習題　26

第二幕　度量

第4章　曲面映射：度量　34

4.1　引言　34

4.2　球面的投影地圖　36

4.3　一般曲面上的度量　38

4.4　度量曲率公式　41

4.5　共形地圖　43

4.6　講一點兒可視化的復分析　45

4.7　球面的共形球極地圖　49

4.8　球極平面投影公式　53

4.9　球極平面投影的保圓性　55

第5章　偽球面和雙曲平面　57

5.1　貝爾特拉米的洞察　57

5.2　曳物線和偽球面　58

5.3　偽球面的共形地圖　61

5.4　貝爾特拉米–龐加萊半平面　62

5.5　利用光學來求測地線　65

5.6　平行角　68

5.7　貝爾特拉米–龐加萊圓盤　71

第6章　等距變換和復數　74

6.1　引言　74

6.2　默比烏斯變換　76

6.3　主要結果　82

6.4　愛因斯坦的時空幾何學　84

6.5　三維雙曲幾何　90

第7章　第二幕的習題　96

第三幕　曲率

第8章　平面曲線的曲率　110

8.1　引言　110

8.2　曲率圓　112

8.3　牛頓的曲率公式　113

8.4　作為轉向率的曲率　115

8.5　例子：牛頓的曳物線　119

第9章　三維空間中的曲線　121

第 10章　曲面的主曲率　124

10.1　歐拉的曲率公式　124

10.2　歐拉的曲率公式的證明　126

10.3　旋轉曲面　127

第 11章　測地線和測地曲率　131

11.1　測地曲率和法曲率　131

11.2　默尼耶定理　133

11.3　測地線是“直的”　135

11.4　測地曲率的內蘊量度　136

11.5　量度測地曲率的一個簡單的外在方法　136

11.6　用透明膠帶構作測地線的一個新解釋　137

11.7　旋轉曲面上的測地線　138

11.7.1　球面上的克萊羅定理　138

11.7.2　開普勒第二定律　140

11.7.3　牛頓對開普勒第二定律的幾何證明　142

11.7.4　克萊羅定理的動力學證明　144

11.7.5　應用：再看雙曲平面上的測地線　146

第 12章　曲面的外在曲率　149

12.1　引言　149

12.2　球面映射　149

12.3　曲面的外在曲率　151

12.4　哪些形狀是可能的？　154

第 13章　高斯的絕妙定理　159

13.1　引言　159

13.2　高斯的漂亮定理（1816年）　159

13.3　高斯的絕妙定理（1827年）　161

第 14章　尖刺的曲率　165

14.1　引言　165

14.2　錐形尖刺的曲率　165

14.3　多面角的內蘊曲率與外在曲率　168

14.4　多面體的絕妙定理　170

第 15章　形狀導數　172

15.1　方向導數　172

15.2　形狀導數S　175

15.3　S的幾何效應　176

15.4　繞道線性代數：奇異值分解和轉置運算的幾何學　177

15.5　S的一般矩陣　182

15.6　S的幾何解釋和[S]的化簡　184

15.7　[S]由三個曲率完全確定　186

15.8　漸近方向　187

15.9　經典術語和記號：三種基本形式　189

第 16章　全局高斯博內定理，引論　191

16.1　一些拓撲學知識與結果的陳述　191

16.2　球面和環面的曲率　194

16.2.1　球面的全曲率　194

16.2.2　環面的全曲率　196

16.3　看一看厚煎餅的K(Sg)　197

16.4　看一看麵包圈和橋的K(Sg)　198

16.5　拓撲度和球面映射　200

16.6　歷史註釋　202

第 17章　全局高斯博內定理的第 一個證明（啟發性證明）　203

17.1　平面環路的全曲率：霍普夫旋轉定理　203

17.2　變形圓周的全曲率　206

17.3　霍普夫旋轉定理的啟發性證明　208

17.4　變形球面的全曲率　209

17.5　全局高斯–博內定理的啟發性證明　210

第 18章　全局高斯博內定理的第二個證明（利用角盈）　213

18.1　歐拉示性數　213

18.2　歐拉的（經驗的）多面體公式　213

18.3　柯西對歐拉多面體公式的證明　216

18.3.1　攤平了的多面體　216

18.3.2　多邊形網的歐拉示性數　217

18.4　勒讓德對歐拉多面體公式的證明　219

18.5　對曲面增加柄以提高其虧格　222

18.6　全局高斯–博內定理的角盈證明　225

第 19章　全局高斯博內定理的第三個證明（利用向量場）　227

19.1　引言　227

19.2　平面上的向量場　227

19.3　奇點的指數　228

19.4　原型奇點：復冪函數　231

19.5　曲面上的向量場　234

19.5.1　蜂蜜流向量場　234

19.5.2　蜂蜜流與地形圖的關系　236

19.5.3　怎樣在曲面上定義奇點指數？　238

19.6　龐加萊–霍普夫定理　239

19.6.1　例子：拓撲球面　239

19.6.2　龐加萊–霍普夫定理的證明　241

19.6.3　應用：歐拉–呂以利埃公式的證明　243

19.6.4　龐加萊的微分方程與霍普夫的線場的比較　244

19.7　全局高斯–博內定理的向量場證明　249

19.8　往前的路怎麽走？　253

第 20章　第三幕的習題　255

第四幕　平行移動

第 21章　一個歷史謎團　268

第 22章　外在的構作　270

22.1　一邊前進，一邊向曲面投影　270

22.2　測地線和平行移動　273

22.3　馬鈴薯削皮器的移動　274

第 23章　內蘊的構作　278

23.1　沿測地線的平行移動　278

23.2　內蘊（即“協變”）導數　279

第 24章　和樂性　283

24.1　例子：球面　283

24.2　一般的測地線三角形的和樂性　285

24.3　和樂性是可加的　286

24.4　例子：雙曲平面　287

第 25章　絕妙定理的一個直觀幾何證明　291

25.1　引言　291

25.2　關於記號和定義的一些說明　292

25.3　至今所知的故事　293

25.4　球面映射保持平行移動不變　294

25.5　再說漂亮定理和絕妙定理　295

第 26章　全局高斯博內定理的第四個證明（利用和樂性）　297

26.1　引言　297

26.2　沿一條開曲線的和樂性？　297

26.3　霍普夫對全局高斯–博內定理的內蘊證明　299

第 27章　度量曲率公式的幾何證明　301

27.1　引言　301

27.2　向量場圍繞迴路的環流量　303

27.3　排練：平面上的和樂性　304

27.4　和樂性作為地圖中由度量定義的向量場的環流量　306

27.5　度量曲率公式的幾何證明　309

第 28章　曲率是相鄰測地線之間的作用力　310

28.1　雅可比方程簡介　310

28.1.1　零曲率：平面　310

28.1.2　正曲率：球面　312

28.1.3　負曲率：偽球面　314

28.2　雅可比方程的兩個證明　315

28.2.1　測地極坐標　315

28.2.2　相對加速度=速度的和樂性　318

28.3　小測地圓的周長和麵積　320

第 29章　黎曼曲率　322

29.1　引言和概要　322

29.2　n 流形上的角盈　323

29.3　平行移動：三種構作方法　325

29.3.1　定角錐上的最近向量　325

29.3.2　在平行移動平面內的定角　326

29.3.3　希爾德的梯子　327

29.4　內蘊（又稱“協變”）導數rv　327

29.5　黎曼曲率張量　329

29.5.1　繞一個小“平行四邊形”的平行移動　329

29.5.2　用向量換位子把這個“平行四邊形”封閉起來　331

29.5.3　黎曼曲率的一般公式　332

29.5.4　黎曼曲率是一個張量　334

29.5.5　黎曼張量的分量　336

29.5.6　對於固定的wo，向量的和樂性只依賴於迴路所在的平面及其所圍面積　337

29.5.7　黎曼張量的對稱性　338

29.5.8　截面曲率　340

29.5.9　關於黎曼張量起源的歷史註記　341

29.6　n 維流形的雅可比方程　343

29.6.1　截面雅可比方程的幾何證明　343

29.6.2　截面雅可比方程的幾何意義　345

29.6.3　雅可比方程和截面雅可比方程的計算證明　346

29.7　里奇張量　347

29.7.1　由一束測地線包圍的面積的加速度　347

29.7.2　里奇張量的定義和幾何意義　349

29.8　終曲　351

第30章　愛因斯坦的彎曲時空　352

30.1　引言：“我一生中最快樂的想法”　352

30.2　引力的潮汐力　354

30.3　牛頓引力定律的幾何形式　358

30.4　時空的度量　360

30.5　時空的圖示　362

30.6　愛因斯坦的真空場方程的幾何形式　363

30.7　施瓦氏解和愛因斯坦理論的最初驗證　366

30.8　引力波　371

30.9　愛因斯坦的（有物質的）場方程的幾何形式　374

30.10　引力坍縮成為黑洞　377

30.11　宇宙學常數：“我一生中最嚴重的錯誤”　381

30.12　結束語　383

第31章　第四幕的習題　384

第五幕　形式

第32章　1-形式　394

32.1　引言　394

32.2　1-形式的定義　395

32.3　1-形式的例子　397

32.3.1　引力做功的1-形式　397

32.3.2　引力做功1-形式的可視化　398

32.3.3　等高線圖和梯度1-形式　399

32.3.4　行向量　402

32.3.5　狄拉克符號（左矢）　402

32.4　基底1-形式　403

32.5　1-形式的分量　404

32.6　梯度df是1-形式　405

32.6.1　復習：梯度 f是一個向量　405

32.6.2　梯度df是一個1-形式　406

32.6.3　1-形式的笛卡兒基{dxj}　407

32.6.4　df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解釋　408

32.7　1-形式加法的幾何解釋　408

第33章　張量　411

33.1　張量的定義：階　411

33.2　例子：線性代數　412

33.3　從原有的張量做出新張量　412

33.3.1　加法　412

33.3.2　乘法：張量積　413

33.4　分量　413

33.5　度量張量與經典線元的關系　414

33.6　例子：再看線性代數　415

33.7　縮並　416

33.8　用度量張量來改變張量的階　417

33.9　對稱張量和反對稱張量　419

第34章　2-形式　421

34.1　2-形式和p-形式的定義　421

34.2　例子：面積2-形式　422

34.3　兩個1-形式的楔積　423

34.4　極坐標下的面積2-形式　426

34.5　基底2-形式及投影　427

34.6　2-形式與R3中向量的聯系：流量　429

34.7　R3中向量積與楔積的關系　431

34.8　法拉第的電磁2-形式與麥克斯韋的電磁2-形式　433

第35章　3-形式　439

35.1　3-形式需要三個維度　439

35.2　一個2-形式與一個1-形式的楔積　439

35.3　體積3-形式　440

35.4　球極坐標中的3-形式　441

35.5　三個1-形式的楔積，p個1-形式的楔積　442

35.6　基底3-形式　444

35.7　Ψ^Ψ≠0可能嗎？　445

第36章　微分學　446

36.1　1-形式的外導數　446

36.2　2-形式和p-形式的外導數　448

36.3　形式的萊布尼茨法則　449

36.4　閉形式和恰當形式　450

36.4.1　基本結果：d2=0　450

36.4.2　閉形式和恰當形式　450

36.4.3　復分析：柯西–黎曼方程　451

36.5　用形式做向量運算　452

36.6　麥克斯韋方程組　456

第37章　積分學　459

37.1　1-形式的線積分　459

37.1.1　環流和功　459

37.1.2　與路徑的無關性<=>閉合環路積分為零　460

37.1.3　恰當形式φ=df的積分　461

37.2　外導數是一個積分　461

37.2.1　1-形式的外導數　461

37.2.2　2-形式的外導數　465

37.3　外微積分基本定理（廣義斯托克斯定理）　467

37.3.1　外微積分基本定理　467

37.3.2　相伴的歷史問題　467

37.3.3　例子：面積　468

37.4　邊界的邊界是零　468

37.5　向量微積分的經典積分定理　469

37.5.1　Φ=0-形式　469

37.5.2　Φ=1-形式　470

37.5.3　Φ=2-形式　471

37.6　外微積分基本定理的證明　471

37.7　柯西定理　474

37.8　1-形式的龐加萊引理　474

37.9　德拉姆上同調初步　475

37.9.1　引言　475

37.9.2　一個特殊的二維渦旋向量場　476

37.9.3　渦旋1-形式是閉的　477

37.9.4　渦旋1-形式的幾何意義　477

37.9.5　閉1-形式的環流的拓撲穩定性　478

37.9.6　第 一德拉姆上同調群　480

37.9.7　R3中的平方反比點源　482

37.9.8　第二德拉姆上同調群　483

37.9.9　環面的第 一德拉姆上同調群　485

第38章　用形式來講微分幾何　488

38.1　引言：嘉當的活動標架法　488

38.2　聯絡1-形式　490

38.2.1　關於符號的約定和兩個定義　490

38.2.2　聯絡1-形式　491

38.2.3　註意：以前習慣的記號　493

38.3　姿態矩陣　494

38.3.1　通過姿態矩陣來講連絡形式　494

38.3.2　例子：柱面標架場　495

38.4　嘉當的兩個結構方程　498

38.4.1　用ej的對偶dxj來表示mi的對偶θi　498

38.4.2　嘉當第 一結構方程　498

38.4.3　嘉當第二結構方程　499

38.4.4　例子：球面標架場　500

38.5　曲面的6個基本形式方程　505

38.5.1　使嘉當的活動標架適用於曲面：形狀導數與外在曲率　505

38.5.2　例子：球面　507

38.5.3　基底分解的唯一性　508

38.5.4　曲面的6個基本形式方程　509

38.6　對稱性方程和彼得松–梅納第–科達齊方程的幾何意義　510

38.7　高斯方程的幾何形式　511

38.8　度量曲率公式和絕妙定理的證明　512

38.8.1　引理：ω12的唯一性　512

38.8.2　度量曲率公式的證明　512

38.9　一個新的公式　514

38.10　希爾伯特引理　514

38.11　利布曼的剛性球面定理　515

38.12　n 流形的曲率2-形式　517

38.12.1　引言和概述　517

38.12.2　廣義外導數　519

38.12.3　由曲率2-形式導出黎曼張量　520

38.12.4　再論比安基恆等式　521

38.13　施瓦西黑洞的曲率　522

第39章　第五幕的習題　528

人名索引　541

術語索引　546