數學要素（全彩圖解 + 微課 + Python編程）

緒論 1

 

第1章   萬物皆數 7

 

1.1 數字和運算：人類思想的偉大飛躍 9

1.2 數字分類：從復數到自然數 11

1.3 加減：最基本的數學運算 15

1.4 向量：數字排成行、列 18

1.5 矩陣：數字排列成長方形 19

1.6 矩陣：一組列向量，或一組行向量 23

1.7 矩陣形狀：每種形狀都有特殊性質和用途 25

1.8 矩陣加減：形狀相同，對應位置，批量加減 26

 

 

第2章   乘除 29

 

2.1 算術乘除：先乘除，後加減，括號內先算 31

2.2 向量乘法：標量乘法、向量內積、逐項積 34

2.3 矩陣乘法：最重要的線性代數運算規則 36

2.4 矩陣乘法第一視角 40

2.5 矩陣乘法第二視角 43

2.6 矩陣除法：計算逆矩陣 46

 

 

第3章   幾何 49

 

3.1 幾何緣起：根植大地，求索星空 51

3.2 點動成線，線動成面，面動成體 54

3.3 角度和弧度 60

3.4 勾股定理到三角函數 62

3.5 圓周率估算初賽：割圓術 64

 

 

第4章   代數 69

 

4.1 代數的前世今生：薪火相傳 71

4.2 集合：確定的一堆東西 72

4.3 從代數式到函數 75

4.4 楊輝三角：代數和幾何的完美合體 79

4.5 排列組合讓二項式系數更具意義 82

4.6 楊輝三角隱藏的數字規律 85

4.7 方程組：求解雞兔同籠問題 86

 

 

第5章   笛卡兒坐標系 91

 

5.1 笛卡兒：我思故我在 93

5.2 坐標系：代數可視化，幾何參數化 94

5.3 圖解“雞兔同籠”問題 100

5.4 極坐標：距離和夾角 102

5.5 參數方程：引入一個參數 103

5.6 坐標系必須是“橫平豎直的方格”？ 104

 

 

第6章   三維坐標系 107

 

6.1 三維直角坐標系 109

6.2 空間平面：三元一次方程 110

6.3 空間直線：三元一次方程組 114

6.4 不等式：劃定區域 117

6.5 三大類不等式：約束條件 120

6.6 三維極坐標 126

 

 

第7章   距離 131

 

7.1 距離：未必是兩點間最短線段 132

7.2 歐氏距離：兩點間最短線段 134

7.3 點到直線的距離 140

7.4 等距線：換個視角看距離 144

7.5 距離間的量化關系 146

 

 

第8章   圓錐曲線 149

 

8.1 圓錐曲線外傳 150

8.2 圓錐曲線：對頂圓錐和截面相交 152

8.3 正圓：特殊的橢圓 155

8.4 橢圓：機器學習的多面手 157

8.5 旋轉橢圓：幾何變換的結果 160

8.6 拋物線：不止是函數 164

8.7 雙曲線：引力彈弓的軌跡 166

 

 

第9章   深入圓錐曲線 169

 

9.1 圓錐曲線：探索星辰大海 171

9.2 離心率：聯系不同類型圓錐曲線 172

9.3 一組有趣的圓錐曲線 173

9.4 特殊橢圓：和給定矩形相切 175

9.5 超橢圓：和範數有關 179

9.6 雙曲函數：基於單位雙曲線 184

9.7 圓錐曲線的一般形式 186

 

 

第10章   函數 191

 

10.1 當代數式遇到坐標系 193

10.2 一元函數：一個自變量 194

10.3 一元函數性質 197

10.4 二元函數：兩個自變量 202

10.5 降維：二元函數切一刀得到一元函數 205

10.6 等高線：由函數值相等點連成 208

 

 

第11章   代數函數 211

 

11.1 初等函數：數學模型的基礎 212

11.2 一次函數：一條斜線 214

11.3 二次函數：一條拋物線 218

11.4 多項式函數：從疊加角度來看 221

11.5 冪函數：底數為自變量 224

11.6 分段函數：不連續函數 228

 

 

第12章   超越函數 231

 

12.1 指數函數：指數為自變量 233

12.2 對數函數：把連乘變成連加 235

12.3 高斯函數：高斯分佈之基礎 238

12.4 邏輯函數：在0和1之間取值 240

12.5 三角函數：周期函數的代表 243

12.6 函數變換：平移、縮放、對稱 246

 

 

第13章   二元函數 251

 

13.1 二元一次函數：平面 253

13.2 正圓拋物面：等高線為正圓 257

13.3 橢圓拋物面：等高線為橢圓 260

13.4 雙曲拋物面：馬鞍面 264

13.5 山谷和山脊：無數極值點 265

13.6 錐面：正圓拋物面開方 267

13.7 絕對值函數：與超橢圓有關 269

13.8 邏輯函數：從一元到二元 272

13.9 高斯函數：機器學習的多面手 274

 

 

第14章   數列 277

 

14.1 芝諾悖論：阿基裡斯追不上烏龜 279

14.2 數列分類 281

14.3 等差數列：相鄰兩項差相等 282

14.4 等比數列：相鄰兩項比值相等 284

14.5 斐波那契數列 287

14.6 累加：大寫西格瑪 288

14.7 數列極限：微積分的一塊基石 299

14.8 數列極限估算圓周率 301

 

 

第15章   極限和導數 305

 

15.1 牛頓小傳 307

15.2 極限：研究微積分的重要數學工具 308

15.3 左極限、右極限 310

15.4 幾何視角看導數：切線斜率 312

15.5 導數也是函數 315

 

 

第16章   偏導數 323

 

16.1 幾何角度看偏導數 325

16.2 偏導也是函數 329

16.3 二階偏導：一階偏導函數的一階偏導 330

16.4 二元曲面的駐點：一階偏導為0 333

 

 

第17章   微分 337

 

17.1 幾何角度看微分：線性近似 338

17.2 泰勒級數：多項式函數近似 340

17.3 多項式近似和誤差 343

17.4 二元泰勒展開：用多項式曲面近似 348

17.5 數值微分：估算一階導數 352

 

 

第18章   積分 355

 

18.1 萊布尼茨：既生瑜，何生亮 357

18.2 從小車勻加速直線運動說起 357

18.3 一元函數積分 358

18.4 高斯函數積分 361

18.5 誤差函數：S型函數的一種 362

18.6 二重積分：類似二重求和 363

18.7 “偏積分”：類似偏求和 365

18.8 估算圓周率：牛頓法 367

18.9 數值積分：黎曼求積 371

 

 

第19章   優化入門 377

 

19.1 優化問題：尋找山峰、山谷 379

19.2 構造優化問題 380

19.3 約束條件：限定搜索區域 383

19.4 一元函數的極值點判定 389

19.5 二元函數的極值點判定 393

 

 

第20章   概率入門 401

 

20.1 概率簡史：出身賭場 402

20.2 二叉樹：一生二、二生三 403

20.3 拋硬幣：正反面概率 407

20.4 聊聊概率：向上還是向下 409

20.5 一枚質地不均勻的硬幣 411

20.6 隨機中有規律 413

 

 

第21章   統計入門 417

 

21.1 統計的前世今生：強國知十三數 418

21.2 散點圖：當數據遇到坐標系 419

21.3 均值：集中程度 421

21.4 標準差：離散程度 424

21.5 協方差：聯合變化程度 425

21.6 線性相關系數：線性關系強弱 429

 

 

第22章   向量 435

 

22.1 向量：有大小、有方向 436

22.2 幾何視角看向量運算 439

22.3 向量簡化距離運算 441

22.4 向量內積與向量夾角 443

22.5 二維到三維 445

22.6 投影：影子的長度 446

 

 

第23章   雞兔同籠1 453

 

23.1    從雞兔同籠說起 454

23.2    “雞”向量與“兔”向量 456

23.3    那幾只毛絨耳朵 459

23.4    “雞兔”套餐 460

23.5 套餐轉換：基底轉換 463

23.6 豬引發的投影問題 464

23.7 黃鼠狼驚魂夜：“雞飛兔脫”與超定方程組 466

 

 

第24章   雞兔同籠2 469

 

24.1 雞兔數量的有趣關系 470

24.2 試試比例函數：y = ax 471

24.3 最小二乘法 473

24.4 再試試一次函數：y = ax + b 477

24.5 再探黃鼠狼驚魂夜：超定方程組 479

24.6 統計方法求解回歸參數 483

 

 

第25章   雞兔同籠3 485

 

25.1    雞兔互變奇妙夜 486

25.2    第一視角：“雞/兔→雞”和“雞/兔→兔” 489

25.3    第二視角：“雞→雞/兔”和“兔→雞/兔” 491

25.4 連續幾夜雞兔轉換 493

25.5 有向量的地方，就有幾何 496

25.6    彩蛋 498