伊藤清概率論（修訂版）

伊藤清

1915—2008，日本著名數學家，日本學士院院士，京都大學教授。隨機分析的創始人之一，也是日本概率論研究的奠基者。他曾擔任京都大學數理分析研究所所長及日本數學會理事長。因其在概率論方面的奠基性貢獻，1987年榮獲沃爾夫獎，1998年獲得京都獎，2006年成為首屆高斯獎得主。

伊藤清的研究重點是概率論，尤其是在隨機分析領域，被譽為“現代隨機分析之父”。以他命名的重要理論包括伊藤引理、伊藤積分及伊藤過程等。他的工作不僅推動了現代數學的發展，還對物理學、經濟學和統計學等領域產生了深遠影響。代表著作包括《概率論》《隨機過程》和《我與概率論：伊藤清文集》等。

目錄

 

第　1章 概率論的基本概念　1

1　概率空間的定義　1

2　概率空間的實際意義　3

3　概率測度的簡單性質　5

4　事件，條件，推斷　10

5　隨機變量的定義　12

6　隨機變量的合成與隨機變量的函數　15

7　隨機變量序列的收斂性　16

8　條件概率、相依性與獨立性　21

9　均值　26

 

第　2章 實值隨機變量的概率分佈　29

10　實值隨機變量的表現　29

11　R-概率測度的表現　32

12　R-概率測度之間的距離　33

13　R-概率測度集合的拓撲性質　35

14　R-概率測度的數字特徵　38

15　獨立隨機變量的和，R-概率測度的捲積　43

16　特徵函數　46

17　R-概率測度及其特徵函數的拓撲關系　50

 

第3章　概率空間的構成　54

18　建立概率空間的必要性　54

19　擴張定理(I)　55

20　擴張定理(II)　57

21　Markov 鏈　59

 

第4章　大數定律　63

22　大數定律的數學表現　63

23　Bernoulli 大數定律　65

24　中心極限定理　66

25　強大數定律　69

26　無規則性的含義　73

27　無規則性的證明　76

28　統計分佈　81

29　重對數律與遍歷定理　82

 

第5章　隨機變量序列　84

30　一般的問題　84

31　條件概率分佈　85

32　單純Markov 過程與轉移概率族　87

33　遍歷問題的簡單例子　89

34　遍歷定理　92

 

第6章　隨機過程　99

35　隨機過程的定義　99

36　Markov 過程　101

37　時空齊次的Markov 過程(I)　103

38　時空齊次的Markov 過程(II)　112

39　一般Markov 過程與平穩過程　115

 

附錄1　符號　119

附錄2　參考文獻　121

附錄3　後記與評註　122

概要與背景　124

索引　144