微積分 (Hass & Weir & Thomas: University Calculus: Early Transcendentals, 2/e)

<內容簡介>

 

 

這是一本紮實與精準的教科書，力圖呈現微積分的驚心動魄與美。微積分的求切線斜率與求面積問題，一舉解決於相對容易的微分正逆演算。微分的正算解決了函數的遞增、遞減、臨界點、極值、凹口向上、凹口向下、反曲點、函數圖形的樣貌、泰勒展式；而微分的逆算 ( 不定積分 ) 解決了求面積問題與解微分方程的問題等。

　　微積分可用一個口訣來描寫：一法二念二義一理。一法就是一個方法，指的是本義的無窮步驟之分析與綜合法 ( 即無窮步驟的分割與連續求和 )；二念就是兩個概念，即極限與無窮小量；二義就是兩個定義，即微分與積分的定義；一理就是一個定理，即微積分學根本定理，它是連結微分與積分的橋樑，以四兩撥千斤的巧妙，解決求面積的千古難題。

　　微積分是整個近代科學與工藝的基礎。若沒有微積分，就沒有物理學，沒有電磁學，沒有近代的科學革命，更沒有現代的電腦資訊文明。學習微積分雖然有點困難，但是努力用心去學，太值得了。深信天下沒有學不會的東西。

　　微積分可能是每一位初學者第一次接觸到的最抽象，也最具挑戰性的數學，因為它結結實實遇到了「無窮」，落實於取極限的操作或無窮小量的論述法。「無窮」讓微積分具有深度，困難且迷人。本書願盡所能幫助讀者克服這個「無窮」的難關。「大道無門，千差有路，透得此關，乾坤獨步」，加油！

 

<章節目錄>

 

第1章　函　數

• 1.1　函數及其圖形

• 1.2　函數的結合：平移與尺度伸縮

• 1.3　三角函數

• 1.4　指數函數

• 1.5　反函數與對數函數

第2章　極限與連續性

• 2.1　變化率與曲線上的切線

• 2.2　函數的極限與極限的操作規則

• 2.3　極限的精確定義

• 2.4　單側極限

• 2.5　連續性

• 2.6　涉及無窮的極限；圖形的漸近線

第3章　微　分

• 3.1　在一點的切線與導數

• 3.2　一個函數的導函數

• 3.3　微分的規則

• 3.4　導數的變化率解釋

• 3.5　三角函數的導函數

• 3.6　連鎖規則

• 3.7　隱函數的微分法

• 3.8　反函數與對數函數的微分法

• 3.9　反三角函數

• 3.10　相關的變化率

第4章　微分法的應用

• 4.1　函數的極值

• 4.2　平均變率定理

• 4.3　單調函數與一階導數檢定法

• 4.4　凹凸性與函數作圖

• 4.5　不定型與羅必達規則

• 4.6　極值的應用問題

• 4.7　牛頓逐步逼近求根法

• 4.8　反導函數

第5章　積　分

• 5.1　面積與有限項求和的估計

• 5.2　求和記號Σ與有限和的極限

• 5.3　定積分

• 5.4　微積分學根本定理

• 5.5　不定積分與變數代換法

• 5.6　定積分的變數代換法與兩曲線之間的面積

第6章　定積分的應用

• 6.1　利用橫截面積來求體積

• 6.2　柱殼法求體積

• 6.3　曲線的長度

• 6.4　旋轉體的側表面積

第7章　積分與超越函數

• 7.1　透過積分定義對數函數

• 7.2　指數變化與可分離變數型的微分方程式

第8章　積分的技巧

• 8.1　分部積分法

• 8.2　三角函數的積分

• 8.3　三角代換法

• 8.4　有理函數的部分分式法

• 8.5　數值積分

• 8.6　瑕積分

第9章　無窮的數列與級數

• 9.1　數　列

• 9.2　無窮級數

• 9.3　積分檢定法

• 9.4　比較檢定法

• 9.5　比值檢定法與根式檢定法

• 9.6　交錯級數、絕對與條件收斂

• 9.7　冪級數

• 9.8　泰勒與馬克勞林級數

• 9.9　泰勒級數的收斂

• 9.10　二項級數與泰勒級數的應用

第10章　偏導函數

• 10.1　多變數函數

• 10.2　多維空間的極限與連續

• 10.3　偏導函數

• 10.4　連鎖規則

• 10.5　方向導數與梯度向量

• 10.6　切平面

• 10.7　極值與鞍點

• 10.8　Lagrange乘子法

第11章　多重積分

• 11.1　在長方形上的兩重積分與逐次積分

• 11.2　一般領域上的兩重積分

• 11.3　兩重積分求面積

• 11.4　極坐標之下的兩重積分

附錄1　極限定理的證明

附錄2　常見的極限式

附錄3　連鎖規則的證明

附錄4　二階檢定法的推導

附錄5　極坐標與極坐標方程式

附錄6　向量及其運算

習題簡答

英中文索引

 

簡要積分表