數值計算方法

官禮和,重慶交通大學數學與統計學院教授，工學博士，碩士生導師。長期從事智能優化算法、數值計算方法等領域的教學與科研工作。主講《數值分析》、《**化方法》、《智能計算》等本科及研究生課程20余年。目前已在國內外重要期刊發表相關學術論文30余篇，主持/參與國家級/省部級科研項目20余項。

目錄

 

 

 

第1章緒論

1.1數值分析的研究對象和特點

1.2數值計算的誤差

1.2.1誤差分析的重要性

1.2.2誤差的來源與分類

1.2.3誤差與有效數字

1.2.4數值計算中的誤差傳播

1.3數值計算中需要註意的問題

1.3.1病態問題

1.3.2算法的數值穩定性

1.3.3避免誤差危害的若幹原則

1.4小結

習題1

第2章非線性方程的數值解法

2.1基本概念

2.2二分法

2.3不動點疊代法

2.4斯特芬森加速疊代法

2.5牛頓疊代法

2.5.1牛頓疊代法的基本原理

2.5.2重根情形下的牛頓疊代法

2.5.3牛頓疊代法的優缺點

2.6牛頓疊代法的改進

2.6.1牛頓下山法

2.6.2簡化牛頓疊代法

2.6.3割線法

2.7小結

習題2

第3章線性方程組的直接解法與性態分析

3.1高斯消元法

3.1.1三角形線性方程組

3.1.2高斯消元法的基本思想

3.1.3順序高斯消元法

3.1.4列主元高斯消元法

3.2三角分解法

3.2.1杜利特爾分解法

3.2.2克勞特分解法

3.2.3解對稱正定線性方程組的喬列斯基分解法

3.2.4帶狀線性方程組的三角分解法

3.3向量範數與矩陣範數

3.3.1向量範數

3.3.2矩陣範數

3.4線性方程組的性態分析

3.4.1線性方程組的性態問題及其定量描述

3.4.2病態線性方程組的求解

3.5小結

習題3

第4章線性方程組的疊代解法

4.1疊代法的基本概念

4.1.1向量序列和矩陣序列的極限

4.1.2疊代法的基本思想

4.1.3疊代法的收斂性

4.1.4疊代法的收斂速度

4.2雅可比疊代法與高斯賽德爾疊代法

4.2.1雅可比疊代法

4.2.2高斯-賽德爾疊代法

4.2.3兩種疊代法的收斂性

4.3超松弛疊代法

4.4對稱正定線性方程組的數值解法

4.4.1對稱正定線性方程組求解的等價問題

4.4.2最速下降法

4.4.3共軛梯度法

4.5小結

習題4

第5章非線性方程組的數值解法與最優化方法

5.1非線性方程組

5.2非線性方程組的數值解法

5.2.1基本概念

5.2.2不動點疊代法

5.2.3牛頓法

5.2.4擬牛頓法

5.2.5離散牛頓法

5.3無約束最優化方法

5.3.1非線性方程組與無約束最優化問題

5.3.2最速下降法

5.3.3牛頓法

5.3.4修正牛頓法

5.3.5修正擬牛頓法

5.3.6最小二乘問題的求解

5.3.7線搜索問題

5.4小結

習題5

第6章插值與數據擬合

6.1插值法的基本概念

6.2拉格朗日插值

6.3差商與牛頓插值

6.3.1差商及其性質

6.3.2牛頓插值及其余項

6.4差分與等距節點插值

6.4.1差分及其性質

6.4.2等距節點的牛頓插值

6.5埃爾米特插值

6.5.1重節點差商與泰勒插值

6.5.2埃爾米特插值公式

6.6分段低次插值

6.6.1高次插值的病態性質

6.6.2分段低次插值方法

6.7三次樣條插值

6.7.1三次樣條插值函數的概念

6.7.2三次樣條插值函數的求法

6.7.3誤差界與收斂性

6.8反插值法

6.9數據擬合及最小二乘法

6.9.1最小二乘原理

6.9.2多項式擬合

6.9.3可化為線性擬合的非線性擬合

6.9.4點集上的正交函數擬合

6.10小結

習題6

第7章函數逼近

7.1函數逼近的基本概念

7.2正交多項式

7.2.1正交函數族與正交多項式

7.2.2勒讓德多項式

7.2.3切比雪夫多項式

7.2.4拉蓋爾多項式

7.2.5埃爾米特多項式

7.3最佳一致逼近多項式

7.3.1連續函數的最佳一致逼近多項式

7.3.2切比雪夫插值

7.4最佳平方逼近

7.4.1基本概念及方法

7.4.2用正交函數簇作最佳平方逼近

7.4.3切比雪夫級數

7.5三角多項式逼近與快速傅裏葉變換

7.5.1最佳平方三角逼近與三角插值

7.5.2離散傅裏葉變換

7.5.3快速傅裏葉變換

7.5.4用傅裏葉變換構造三角插值多項式

7.6小結

習題7

第8章數值積分與數值微分

8.1數值積分的基本概念

8.1.1數值求積公式及其代數精度

8.1.2數值求積公式的收斂性與穩定性

8.2插值型求積公式

8.3牛頓-科茨求積公式

8.3.1牛頓-科茨求積公式的一般形式及其余項

8.3.2常用的牛頓-科茨求積公式及其余項

8.3.3牛頓-科茨求積公式的收斂性與穩定性

8.4復化求積公式

8.4.1復化梯形公式

8.4.2復化辛普森公式

8.4.3復化科茨公式

8.5龍貝格求積公式

8.5.1變步長的梯形公式

8.5.2龍貝格公式

8.5.3龍貝格算法

8.5.4理查森外推加速

8.6高斯型求積公式

8.6.1高斯型求積公式的基本思想

8.6.2高斯型求積公式的推導

8.6.3常見的高斯型求積公式

8.7數值微分

8.7.1插值型求導公式

8.7.2三次樣條函數求導公式

8.7.3數值微分的外推算法

8.8小結

習題8

第9章常微分方程的數值解法

9.1歐拉法及其改進

9.1.1歐拉法

9.1.2改進歐拉法

9.1.3單步法的局部截斷誤差與階

9.2龍格-庫塔法

9.2.1泰勒級數法

9.2.2經典龍格-庫塔法

9.2.3變步長龍格-庫塔法

9.3線性多步法

9.3.1亞當斯外推法

9.3.2亞當斯內插法

9.4二階常微分方程邊值問題的差分法

9.5小結

習題9

習題參考答案

參考文獻