線性代數

第一章 Gauss消去法與矩陣的初等變換
§1.1 代數學準備知識
1.1.1 數域和牛頓二項展開定理
1.1.2 代數基本定理
§1.2 矩陣的概念
1.2.1 矩陣的定義
1.2.2 幾種特殊矩陣
§1.3 Gauss消去法和矩陣初等變換
1.3.1 矩陣的初等變換
1.3.2 矩陣的標準形
1.3.3 初等變換視角下的Gauss消去法
習題
實驗項目 矩陣的初等變換與Gauss消去法
一、矩陣的初等變換
二、Gauss消去法解線性方程組
第二章 行列式
§2.1 行列式的概念
2.1.1 低階行列式
2.1.2 逆序數及其性質
2.1.3 n階行列式的定義
§2.2 行列式的性質與計算
2.2.1 行列式的性質
2.2.2 行列式按行(列)展開
2.2.3 行列式的計算
§2.3 Cramer法則
2.3.1 Cramer法則
2.3.2 齊次線性方程組
習題2A
習題2B
方法拓展 行列式的計算方法
一、利用定義直接計算
二、拆分法
三、加邊法(升階法)
四、遞推公式法
五、輔助行列式
六、一些其他的方法
實驗項目 行列式計算
一、化為上三角方法(Gauss消去法)
二、降階法(代數餘子式法)
三、使用NumPy庫(SciPy庫)
四、使用SymPy庫
第三章 矩陣
§3.1 矩陣的運算
3.1.1 矩陣線性運算
3.1.2 矩陣乘法
3.1.3 矩陣的轉置運算
§3.2 分塊矩陣、初等矩陣
3.2.1 分塊矩陣及其運算
3.2.2 初等矩陣
§3.3 矩陣的秩
3.3.1 秩的概念與性質
3.3.2 秩的求法
§3.4 逆矩陣
3.4.1 逆矩陣的概念
3.4.2 逆矩陣的性質
3.4.3 初等矩陣的逆矩陣
3.4.4 初等變換求逆矩陣
§3.5 矩陣方程
習題3A
習題3B
實驗項目 矩陣
一、矩陣的基礎運算
二、矩陣的秩和最高階非零子式
三、逆矩陣
四、矩陣方程
第四章 向量
§4.1 向量與向量組
4.1.1 向量及其運算
4.1.2 向量組與向量組的部分組
§4.2 向量組的線性相關性
4.2.1 線性表示
4.2.2 線性相關與線性無關
4.2.3 線性相關性的命題
§4.3 向量組的秩
4.3.1 極大無關組及其性質
4.3.2 向量組的秩及其性質
4.3.3 極大無關組與秩的求法
4.3.4 線性表示的判定定理
習題4A
習題4B
實驗項目 向量
第五章 線性空間、線性方程組
§5.1 線性空間
5.1.1 線性空間及其性質
5.1.2 維數、基底與坐標
5.1.3 基底變換與坐標變換
§5.2 線性方程組
5.2.1 線性方程組可解性
5.2.2 齊次線性方程組
5.2.3 非齊次線性方程組
習題5A
習題5B
方法拓展 降秩矩陣方程
實驗項目 線性方程組
第六章 矩陣的特征值與特征向量
§6.1 特征值與特征向量
6.1.1 特征值和特征向量的概念
6.1.2 特征向量的求法
6.1.3 特征值和特征向量的性質
§6.2 相似矩陣
6.2.1 相似矩陣的概念與性質
6.2.2 相似對角化
6.2.3 相似對角化的步驟
6.2.4 Jordan標準形簡介
§6.3 向量的內積
6.3.1 內積的概念與性質
6.3.2 正交向量組
6.3.3 Gram-Schmidt正交化方法
6.3.4 正交矩陣
§6.4 實對稱矩陣的對角化
6.4.1 實對稱矩陣的性質
6.4.2 實對稱矩陣的對角化
習題6A
習題6B
實驗項目 特征值與特征向量
一、矩陣的特征值和特征向量
二、相似矩陣
三、矩陣的相似對角化
拓展應用 奇異值分解及其在圖像降噪上的應用
第七章 二次型
§7.1 二次型的相關概念
7.1.1 二次型及其矩陣形式
7.1.2 線性變換
7.1.3 矩陣合同
§7.2 化二次型為標準形
7.2.1 配方法
7.2.2 正交變換法
7.2.3 初等變換法
§7.3 正定二次型
7.3.1 正定二次型的概念
7.3.2 正定二次型的判定方法
習題7A
習題7B
應用問題 函數極值問題
一、二元函數的二階Taylor展開
二、極值的必要條件與充分條件
實驗項目 二次型的正交變換
拓展應用 二次型理論在支持向量機中應用
一、二次型理論在支持向量機中的作用
二、典型應用案例
參考文獻