高等數學（上冊）（第2版）

王燕軍，教授，博士生導師，國家一流專業建設點“數學與應用數學專業”負責人，研究方向是統計優化與隨機優化。 曾於 2009 年 9 月至 2010 年 2 月在華盛頓大學訪問，2010 年 3 月至 9 月在美國 明尼蘇達大學訪問。現任中國高等教育學會教育數學專業委員會常任理事，上海市運籌學會理事。為國家線上線下混合一流課程《高等數學》負責人，為國家級新文科教學改革與實踐項目主要負責人，省部級教學改革項目的主要負責人，校“數學基礎教學創新”團隊主要負責人。在科研方面主要對隨機優化及其應用進行深入研究，目前國內外重要期刊已發表三十余篇論文，被 SCI 檢索二十多篇，主持國家級或省部級科研項目五項。多年來主講《高等數學》《實變函數》《最優化方法》等本科生課程，出版教材《高等數學》《實變函數》《最優化基礎理論與方法》《萬物皆數》 等。發表教學論文多篇， 2022 年作為主要完成人獲得上海市教學成果一等獎項， 也曾獲得省級自然科學優秀學術論文二等獎、上海市浦江人才的稱號、校教學成果一等獎、優秀教材一等獎及“科研標兵”的榮譽稱號。

第 一章　函數、極限與連續　1

第 一節　函數　1

一、集合　1

二、區間與鄰域　2

三、函數的概念　3

四、函數的幾何特性　5

五、反函數　7

六、分段函數　8

七、基本初等函數　9

八、函數的運算　13

九、常見的經濟函數　15

習題1-1　17

第二節　數列的極限　19

一、引例　19

二、數列極限的概念　19

三、收斂數列的主要性質　21

習題1-2　23

第三節　函數的極限　23

一、函數極限的概念　23

二、函數極限的主要性質　27

習題1-3　28

第四節　極限的運算法則　28

習題1-4　30

第五節　極限存在準則和兩個重要極限　31

一、極限存在準則Ⅰ——夾逼準則　31

二、第 一重要極限　32

三、極限存在準則Ⅱ——單調有界收斂準則　33

四、第二重要極限　34

習題1-5　36

第六節　無窮小量和無窮大量　37

一、無窮小量　37

二、無窮大量　40

習題1-6　40

第七節　函數的連續性　41

一、函數連續的概念　41

二、連續函數的運算性質　43

三、函數的間斷點　44

四、閉區間上連續函數的性質　45

習題1-7　47

本章小結　50

數學通識：割圓術與極限　51

總復習題一　53

第二章　導數與微分　55

第 一節　導數概念　55

一、引例　55

二、導數的定義　56

三、導數的幾何意義　59

四、左導數與右導數　60

五、函數可導與連續的關系　61

習題2-1　62

第二節　導數的運算法則與基本初等函數導數公式　63

一、函數和、差、積、商的求導法則　63

二、反函數的求導法則　67

三、復合函數的求導法則　68

四、基本初等函數導數公式與求導法則　71

習題2-2　72

第三節　幾種特殊函數求導法　74

一、隱函數求導法　74

二、對數求導法　75

三、參數式函數求導法　76

四、分段函數求導法　77

習題2-3　78

第四節　高階導數　78

習題2-4　82

第五節　函數的微分　82

一、微分的定義　82

二、微分的幾何意義　84

三、微分的運算　85

習題2-5　88

第六節　導數的經濟應用　88

一、邊際　88

二、彈性　90

習題2-6　93

本章小結　94

數學通識：邊際成本與平均成本的關系　95

總復習題二　96

第三章　中值定理與導數的應用　98

第 一節　微分中值定理　98

一、羅爾定理　98

二、拉格朗日中值定理　100

三、柯西中值定理　102

習題3-1　103

第二節　洛必達法則　104

一、基本未定式　104

二、其他未定式　108

習題3-2　109

第三節　函數性態與圖形　109

一、函數單調性的判別法　109

二、函數的極值及其求法　111

三、曲線的凹向與拐點　115

四、曲線的漸近線　118

五、函數圖形的描繪　119

習題3-3　121

第四節　函數的最值及其在經濟分析中的應用　123

一、函數的最值　123

二、經濟應用問題舉例　125

習題3-4　127

本章小結　128

數學通識：此“拐點”非彼“拐點”　129

總復習題三　130

第四章　不定積分　133

第 一節　不定積分的概念與性質　133

一、原函數　133

二、不定積分的概念　134

三、基本積分公式　136

四、不定積分的基本性質　137

習題4-1　140

第二節　不定積分的換元積分法　141

一、第 一類換元積分法　141

二、第二類換元積分法　147

習題4-2151

第三節　不定積分的分部積分法153

習題4-3　156

第四節　有理函數的不定積分　156

習題4-4　161

本章小結　162

數學通識：萊布尼茨與微積分　163

總復習題四　164

第五章　定積分及其應用　165

第 一節　定積分的概念與性質　165

一、引例　165

二、定積分的定義　167

三、定積分的幾何意義　168

四、定積分的性質　169

習題5-1　172

第二節　微積分基本定理　172

一、積分上限函數及其導數　172

二、牛頓-萊布尼茨公式　176

習題5-2　179

第三節　定積分的換元積分法和分部積分法　180

一、定積分的換元積分法　181

二、定積分的分部積分法　185

習題5-3　188

第四節　反常積分與Γ函數　190

一、無窮限的反常積分　190

二、無界函數的反常積分　192

三、Γ函數　195

習題5-4　196

第五節　定積分的幾何應用　197

一、平面圖形的面積　197

二、平行截面面積已知的立體的體積　200

三、旋轉體的體積　201

習題5-5　204

第六節　定積分的經濟應用　205

一、由邊際函數求總函數　205

二、資金流的現值與終值　207

習題5-6　209

本章小結　210

數學通識：積分的建立　211

總復習題五　213

習題答案　215

參考文獻　233