應用高等數學

戴新建，男，长沙民政职业技术学院通识教育中心讲师，大数据应用工程师，湖南省高校青年骨干教师。长期从事高职教育、全国大学生数学建模竞赛培训工作，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛荣获国家一等奖3项、二等奖3项，2013年湖南省信息化教学设计大赛荣获高职数学组一等奖，参与省级课题3项，发表相关研究论文10余篇。

第 1章　預備知識 1

第　一節 映射與函數　1

一、映射　1

二、函數的概念　4

三、函數的性質　6

四、復合函數與反函數　7

五、初等函數　11

第二節　函數思想及其應用　13

一、函數思想與函數模型　13

二、函數模型舉例　14

三、基於函數思想的程序設計　15

第三節　數學軟件MATLAB簡介　17

一、MATLAB界面　17

二、MATLAB基本操作　18

三、MATLAB數組運算　20

四、MATLAB符號運算　22

五、MATLAB函數　24

實訓　MATLAB簡單程序設計　25

拓展學習：椅子能在不平的地面上

放穩嗎　28

練習1　29

第　2章 函數極限與逼近思想　32

第　一節 極限的概念　32

一、數列極限　32

二、函數極限　35

第二節　極限的運算　37

一、極限的性質　37

二、極限的四則運算法則　37

三、兩個重要極限　39

四、無窮小與無窮大　41

第三節　函數的連續性　44

一、連續函數的概念　44

二、初等函數的連續性　45

三、閉區間上連續函數的性質　46

第四節　逼近思想及其應用　47

一、離散數據的線性擬合　48

二、離散數據的多項式擬合　50

實訓　一元函數的MATLAB繪圖與

非線性擬合　52

拓展學習：反復學習及效率　58

練習2　59

第3章　一元函數微分學及其應用　62

第　一節 導數的概念　62

一、導數的定義　62

二、導數的幾何意義　64

三、可導與連續的關系　65

第二節　導數的運算　66

一、常數和基本初等函數的導數公式　66

二、導數的四則運算法則　66

三、復合函數的求導法則　68

四、高階導數　70

五、隱函數的及由參數方程所確定的

函數的導數　71

第三節　函數的微分　72

一、微分的概念　72

二、微分公式與微分的運算法則　73

三、微分在近似計算中的應用　75

第四節　導數的應用　76

一、洛必達法則　76

二、函數單調性的判定方法　78

三、函數的凹凸性及拐點　80

四、函數的極值及其求法　81

五、函數的最值及其求法　83

實訓　利用MATLAB求方程的

近似根　85

拓展學習：飛越北極　90

練習3　93

第4章　一元函數積分學及其應用　95

第　一節 不定積分的概念與性質　95

一、原函數的概念　95

二、不定積分的概念　96

三、不定積分的性質　97

四、不定積分的幾何意義　97

第二節　不定積分的運算　97

一、不定積分的基本公式　97

二、不定積分的運算法則　98

三、不定積分的方法　98

第三節　定積分的概念及性質　106

一、曲邊梯形的面積　106

二、定積分的概念　109

三、定積分的性質　110

第四節　定積分的計算　111

一、變上限定積分　111

二、牛頓—萊布尼茨公式　112

三、定積分的換元積分法　113

四、定積分的分部積分法　115

第五節　定積分在幾何上的應用　116

一、微元法　116

二、直角坐標系中平面圖形的面積　116

三、旋轉體的體積　120

實訓　定積分的近似計算及

MATLAB實現　122

一、利用矩形法計算定積分的近似值　123

二、利用梯形法計算定積分的近似值　124

三、利用拋物線法計算定積分的近似值　125

拓展學習：火箭飛出地球問題　127

練習4　129

第5章　多元函數微積分　132

第　一節 多元函數的概念、極限與

連續性　132

一、多元函數的概念　132

二、多元函數的極限　133

三、多元函數的連續性　134

第二節　偏導數與全微分　135

一、多元函數的偏導數　135

二、全微分　139

第三節　多元復合函數與隱函數的

偏導數　140

一、多元復合函數的偏導數　140

二、隱函數的偏導數　142

第四節　偏導數的應用　144

一、多元函數的極值及其求法　144

二、多元函數的最值及其求法　147

三、多元函數的條件極值及其求法　148

第五節　二重積分及其應用　150

一、二重積分的概念　150

二、二重積分的性質　151

三、二重積分的計算　151

實訓　MATLAB多元函數圖像處理及

多元線性回歸　155

拓展學習：競爭性產品在生產、

銷售中的利潤最大化　161

練習5　163

第6章　無窮級數　166

第　一節 常數項級數的概念和性質　166

一、常數項級數的概念　166

二、收斂級數的基本性質　170

第二節　常數項級數的審斂法　170

一、正項級數及其審斂法　170

二、交錯級數及其審斂法　173

三、絕對收斂與條件收斂　174

第三節　冪級數　174

一、冪級數及其收斂域　174

二、冪級數的運算性質　176

第四節　函數的冪級數展開式及其

應用　177

一、泰勒公式　177

二、將函數展開成冪級數　178

三、冪級數展開式的應用　181

實訓　利用函數的冪級數展開式進行

近似計算　181

拓展學習：分形幾何中的Koch

雪花　184

練習6　187

第7章　微分方程及其應用　190

第　一節 微分方程的基本概念　190

一、微分方程的定義　190

二、微分方程的階　191

三、微分方程的解　191

第二節　一階微分方程　192

一、可分離變量的微分方程及其求解　192

二、一階線性微分方程及其求解　194

三、可降階的二階微分方程及其求解　198

第三節　二階常系數線性微分方程　201

一、二階常系數線性齊次微分方程的

求解　201

二、二階常系數線性非齊次微分方程的

求解　205

第四節　微分方程的數值解　207

一、歐拉方法　207

二、龍格-庫塔法　211

實訓　利用MATLAB求解常微分

方程問題的典型案例　215

拓展學習：人口數量增長的預測

模型　218

練習7　223