微積分之美 偉大定理和天才的數學思維

侯丹，超級會講數學的硬核博主，前阿裏巴巴數據分析師，曾任順豐海淘（後改名“豐趣海淘”）CTO，在人工智能領域多次創業，對人工智能的底層支撐——數學有深入和獨到的理解。現全職運營硬核數學科普自媒體號“科技3D視界”，目前在抖音已經坐擁108萬粉絲，B站68萬粉絲，全網已超300萬粉絲，其中的“正說微積分”視頻合集在抖音播放量已過億，全網播放量已破2億。

前言
第1章 戴德金分割與連續統
1.1 戴德金：那一年我已經死了？
1.2 對不起，你不能用π來計算π/2！
1.3 事關生死，捕捉無理數
1.4 柯朗眼中的極限和連續
1.5 博爾紮諾定理以及介值定理
1.6 湧動千年的暗流
第2章 遇事不決，泰勒展開
2.1 導數的理性之爭
2.2 從導數演化出的炸裂觀點
2.3 一個高燃的過程——微分和線性估計
2.4 無窮維空間的泰勒公式
2.5 那些高維空間的“超立方體”
2.6 從餘項推導泰勒公式
2.7 牛頓在敲棺材板
第3章 歐拉公式，以及高斯的解讀
3.1 歐拉的無聊夜晚：讓我們來算個e吧！
3.2 接受我們最高的敬畏，“上帝公式”
3.3 歐拉公式的幾個應用
3.4 可是，i究竟是什麼？
3.5 覆平面上的旋轉
3.6 完美主義者高斯與代數基本定理
3.7 純虛構的數字以及擴域
第4章 從無窮級數到巴塞爾問題
4.1 千奇百怪的無窮數
4.2 奔跑的烏龜和發散的調和級數
4.3 歐拉的“成神”之戰——巴塞爾問題
4.4 所有的質數都在這個公式裏
第5章 微積分的基本定理
5.1 從無窮級數到積分
5.2 終於有了“名分”，黎曼積分
5.3 打破枯燥無趣，微積分的基本定理
5.4 對圓做些殘忍的事
5.5 微積分的始祖——祖暅定理
5.6 圓錐體和球體的體積
第6章 從交錯級數到斐波那契數列
6.1 完全相反？從無窮級數到交錯級數
6.2 萊布尼茨的靈感爆發——生成函數
6.3 它是收斂的？達朗貝爾判別法
6.4 數學家都震驚了！柯西判別法
6.5 一個簡單但非常重要的概念——收斂半徑
6.6 用收斂半徑來審問泰勒級數
第7章 數學豪門，以及曲線問題
7.1 一次影響數學史的學術挑戰
7.2 最速降線問題——約翰·伯努利解法
7.3 擺線的表達式
7.4 心形曲線和它背後的浪漫故事
第8章 連分數及拉馬努金的赤子之心
8.1 拉馬努金的怪獸公式
8.2 完成怪獸公式的證明
8.3 讓我們一起計算高斯積分
8.4 有條件的雙重積分
8.5 用“野路子”求解連分數
第9章 拉格朗日和他的常數變易法
9.1 微分方程：從“瞪眼法”到“分離變量法”
9.2 “大陸學派”的代表——伯努利微分方程
9.3 另一種偉大實現——歐拉方法
9.4 拉格朗日用11年得到的常數變易法
第10章 蒼蠅、積分變換及神獸
10.1 轉盤上的蒼蠅
10.2 被雪藏了15年的傅裏葉變換
10.3 令人驚嘆的離散傅裏葉變換
10.4 尷尬而又漂亮的拉普拉斯變換
10.5 導數的拉普拉斯變換
10.6 利用拉普拉斯變換解微分方程
10.7 拉普拉斯的“神獸”