奇異控制 正倒向隨機系統

張良泉

奇異控制 正倒向隨機系統

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商品描述

在最優控制理論中，龐特裏亞金極大值原理與貝爾曼動態規劃原理構成求解隨機最優控制問題的兩大理論基石，亦是該領域應用最為廣泛、影響最為深遠的方法體系。正倒向隨機微分方程（FBSDE）的提出，其原始動因源於隨機最優控制理論，特別是龐特裏亞金極大值原理中所導出的伴隨方程結構。本書系統梳理並凝練了作者團隊近十年來在正倒向隨機系統（特別是奇異控制情形）領域的前沿研究成果，內容涵蓋偏微分方程中的自由邊界問題、線性二次隨機控制、約束控制、隨機微分博弈，以及金融工程中若幹典型問題，如禁止賣空約束下的均值-方差投資組合優化、不完備市場中的期權定價等。全書以動態規劃方法（基於黏性解理論）、奇異控制框架下的龐特裏亞金極大值原理（依托對偶方程分析）、隨機分析、凸分析（特別是投影定理）、非線性優化理論（KKT最優性條件）及對偶理論為核心工具，強調方法的嚴謹性與問題導向性。本書註重理論深度與實際背景的有機統一，旨在為數學（尤其是金融數學、隨機分析方向）及相關交叉學科（如數理金融、系統生物學）的研究者提供兼具基礎性與前沿性的學術參考，並為解決新興跨學科問題提供可遷移的建模思路與分析範式。

作者簡介

張良泉，中國人民大學數學學院金融數學與金融計算系教授，博士生導師，入選校“傑出學者”青年學者A崗、“吳玉章青年學者”；本博畢業於山東大學，獲法國西布列塔尼大學博士學位，曾於法國國家信息與自動化研究院從事博士後研究；主要研究隨機控制、金融數學，主持多項國家自然科學基金項目，在國際知名期刊發表論文30餘篇，出版專著兩部，兼任多個學術評審專家職務。

目錄大綱

前言

符號說明

第 1 章 數學預備知識和背景介紹　 1

1.1 概率和隨機變量　　　　 1

1.2 隨機過程　　　　　　5

1.3 正倒向隨機微分方程的基本

理論　　　　　　　14

1.4 奇異控制過程　　　　　22

1.5 凸分析　　　　　　 25

1.6 非線性期望: g-期望　　　 28

1.7 參考文獻　　　　 29

第 2 章 隨機遞歸系統的奇異控制

及 Hamilton-Jacobi-

Bellman 不等式　　　 32

2.1 隨機奇異控制的背景介紹 32

2.2 正倒向隨機奇異控制問題

描述　　　　　　　35

2.3 隨機大值原理　　　　 37

2.4 動態規劃原理　　　　　39

2.5 實例　　　　　　　74

2.6 具有奇異控制的 FBSDE　　75

2.7 附錄: Bellman 方程的　 79

2.8 參考文獻　　　　 80

第 3 章 凸控制約束下隨機遞歸系統的

奇異控制　　　 84

3.1 凸控制約束下背景介紹　　 84

3.2 正倒向隨機系統描述　　　88

3.3 奇異控制的大值原理　 91

3.4 基於動態規劃原理的奇異

控制　　　　　　　110

3.5 回顧以及存在的問題　123

3.6 附錄：本章引理證明　　　124

3.7 參考文獻　　　　　 127

第 4 章 Hilbert 空間方法應用於條件

McKean-Vlasov 動力系統的

LQ 控制問題　　　132

4.1 條件 McKean-Vlasov 隨機系統

介紹　　　　　　　132

4.2 條件 McKean-Vlasov 動力系統

分解　　　　　　　133

4.3 McKean-Vlasov 控制　 138

4.4 大值原理在帶隨機因子金融數學

中的應用　　　　　 148

4.5 線性條件 McKean-Vlasov 控制的

其他問題　　　　　 152

4.6 參考文獻　　　　　 152

VIII

第 5 章 LQ 隨機遞歸系統的平均場

博弈　　　　　 155

5.1 平均場博弈介紹　　 155

5.2 平均場博弈的預備知識　　 157

5.3 .-納什均衡性的驗證　 162

5.4 附錄：定理 5.1 的證明　　 175

5.5 附錄：納什均衡簡介　　　179

5.6 參考文獻　　　　　 180

第 6 章 禁止賣空規則下的均值–方差

投資組合——BSDE

方法　　　　　 182

6.1 Markowitz 相關理論介紹　182

6.2 BSDE 方法介紹　　 183

6.3 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程

的框架　　　　　 187

6.4 金融投資組合化的應用　194

6.5 附錄：黏性解　　　　 199

6.6 參考文獻　　　　　 201

第 7 章 基於 BSDE 方法解決隨機

LQ 控制問題　　　204

7.1 BSDE 處理 LQ 控制問題

概述　　　　　　　204

7.2 LQ 控制問題的預備

知識　　　　　　　205

7.3 LQ-FBSDE 問題的主要

結果　　　　　　　210

7.4 殊情況: H = 0　　　222

7.5 參考文獻　　　　　 226

第 8 章 離散時間約束下隨機遞歸

控制及其在金融中的應用　228

8.1 問題背景與問題描述　　　228

8.2 控制的預備知識　　　231

8.3 問題 (FBSC) 的主要結果　 233

8.4 應用於金融工程　　 253

8.5 附錄：Ekeland 變分原理　　257

8.6 參考文獻　　　　　 258

第 9 章 約束隨機遞歸 LQ 控制

問題及其在金融中的應用　260

9.1 隨機控制約束問題介紹　　 260

9.2 問題描述和預備知識　　　261

9.3 約束隨機遞歸 LQ 問題的主要

結果　　　　　　　266

9.4 金融投資組合化的應用　279

9.5 參考文獻　　　　　 288

第 10 章 具有凸控制約束的隨機

Stackelberg 微分博弈的全

局解　　　　　　290

10.1 Stackelberg 博弈問題介紹 290

10.2 兩種信息結構下的博弈

問題　　　　　　 292

10.3 LQ Stackelberg 博弈的

應用　　　　　　 301

10.4 附錄：定理 10.3 的證明　317

10.5 附錄：關於 Riccati 方程的

討論　　　　　　 321

10.6 參考文獻　　　　　 323

IX

第 11 章 控制輸入約束下具有隨機系數

的無窮區間 Stackelberg 微

分對策　　　　　 326

11.1 無窮區間博弈問題介紹 326

11.2 Stackelberg 微分博弈框架 327

11.3 無窮區間 FBSDE 系統的要

條件　　　　　　 332

11.4 LQ 博弈的應用　　　　335

11.5 Riccati 方程　　　　 339

11.6 結論　　　　　　 345

11.7 附錄　　　　　　 345

11.8 參考文獻　　　　　 348

第 12 章 用 BSDE 方法處理含脈沖

控制的隨機微分對策

問題　　　　　　350

12.1 帶脈沖控制的微分博弈問題

介紹　　　　　　 350

12.2 脈沖控制的數學提法　　 352

12.3 動態規劃原理　　　　 355

12.4 Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs

方程: 黏性解方法　　　 370

12.5 參考文獻　　　　　 384

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